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15.4 角的平分线  

2015-12-30 16:16:51|  分类: 校本研修数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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154 角的平分线

 

 

  

典案一 教学设计

课题

15.4 角的平分线

授课人

 

知识技能

  使学生掌握角平分线的性质定理和判定定理,并会用两个定理解决有关简单问题.

 

数学思考

  通过让学生经历观察演示,动手操作,合作交流,自主探究等过程,培养学生用数学知识解决问题的能力.

 

问题解决

  初步了解角的平分线的性质在生产、生活中的应用;培养学生的数学建模能力.

 

情感态度

  在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强学生解决问题的信心,获得解决问题的成功体验.

 

教学重点

角平分线的性质定理和判定定理的探索与应用.

 

教学难点

理解运用在角平分线上任意选取一点的方法证明角平分线性质定理以及两个定理的区别与联系.

 

授课类型

新授课

课时

1课时

教具

多媒体课件

教学活动

教学步骤

师生活动

设计意图

活动

一:

创设

情境

导入

新课

【思考并交流】怎样作出角的平分线?学生活动:学生自主探究并与同学进行交流. 学生容易想到的方法是通过量角器来作角的平分线. 教师点拨:先给出学生回答想法的时间,然后适时引出这课时要学习的内容.

    通过角的平分线的作图引入新课一方面契合了学生已有的知识经验有效激发了学生的学习兴趣和探究热情另一方面也为新课的引入做铺垫.


(续表)

活动

二:

实践

探究

交流

新知

教师点拨:通过折纸可以作出一个角的平分线.

教师活动:教师组织并引导学生通过折纸的办法作出一个角的平分线.

师生合作交流:师生通过合作交流得到下列结论:

【小结】角是轴对称图形,角的平分线所在的直线是它的对称轴.

教师点拨:除了用量角器和折纸的方法,我们还可以利用尺规作图的方法作出角的平分线.

师生合作交流:师生合作交流探究出角的平分线的尺规作图方法:

AOB的平分线的尺规作图法:

(1)O为圆心,任意长为半径画弧分别交OAOB于点MN.

(2)分别以MN为圆心,以大于MN的长为半径在角的内部画弧交于点P.

(3)作射线OP.

则射线OP即为AOB的平分线.

【思考并探究】引导学生完成教材P142页的思考

学生活动:学生自主探究并进行交流.

教师活动:组织引导学生进行自主探究与交流活动.

教师点拨:由平角的平分线的作图方法我们可以类比得到经过一点作已知直线的垂线的尺规作图法.

师生合作交流:师生合作交流探究出垂线的尺规作图法.

1. 经过已知直线上的一点作这条直线的垂线

已知:直线AB和直线AB上一点C.

求作:AB的垂线,使它经过点C.

作法:

作平角ACB的平分线CF.

直线CF就是所求作的垂线.

2. 经过已知直线外一点作这条直线的垂线

已知:直线AB和直线AB外一点C.

求作:AB的垂线,使它经过点C.

作法:

(1)任意取一点K,使KC在直线AB的两旁;

(2)以点C为圆心,CK长为半径作弧,交AB于点DE

(3)分别以点D和点E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧交于点F

(4)作直线CF.

直线CF就是所求作的垂线.

【思维提升】[见教材P143的第一个思考] 为什么这样作出的直线CF就是所求作的垂线?你能说说道理吗?

通过学生的自主探究、师生的合作交流等活动的设计引导学生探究出角的平分线经过一点作已知直线的垂线等图形的尺规作法.

通过学生的自主探究、师生的合作交流等活动的设计引导学生探究出角平分线的性质定理和判定定理.

(续表)

活动

二:

实践

探究

交流

新知

 

154

 【思考并交流】[见教材P143的第二个思考] 如图154-,OPAOB的平分线,POP上的任一点,过点P分别作PCOAPDOB,点CD是垂足.你能猜想PCPD长度间有什么关系吗?证明你的猜想

教师点拨:你能证明你的猜想吗?

学生活动:学生自主探究出证明方法.

师生合作交流:师生合作交流得到下列结论:

角平分线的性质定理:

角平分线上的点到角两边的距离相等.

 

111

用几何语言表示为:

如图154-,∵OE平分AOB,点POE上且PCOAPDOB,∴PCPD.

【思维提升】[见教材P144思考] 写出上面角平分线性质定理的逆命题.这个逆命题是真命题吗?如果是真命题,请写出已知、求证,并给出证明.

学生活动:学生自主探究并与同学进行交流.

教师活动:组织引导学生进行探究交流活动并归纳出下列定理:

角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.

用几何语言表示为:

如图154-,已知AOB,∵PCOA于点CPDOB于点DPCPD,∴OE平分AOB.

【教师点拨】强调点是角的内部的点.

 

活动

三:

开放

训练

体现

应用

【应用举例】1 已知:线段aα,如图154

 

154

求作:ABC,使得ACB90°,BCa,∠ABCα.

师生合作交流得到下列作法:

作法:

(1)BCa

(2)过点C作射线CN垂直于BC

(3)ABCαBA交射线CM于点A.

ABC即为所求作的三角形(图略).

2 [见教材P145的例题] 已知:如图154-,△ABC中,∠B的平分线BEC的平分线CF相交于点P.求证:AP平分BAC.

师生合作交流:师生合作交流探究得出解题思路.

 

12的设计是为了巩固所学的新知识.

(续表)

活动

三:

开放

训练

体现

应用

154

  证明:如图154过点P分别作PMBCPNACPQAB垂足分别为MNQ.

BEB的平分线PBEPMBCPNACPQAB.PQPM.

同理可证:PNPMPNPQ.

PNACPQABAP平分BAC.

教师点拨:从本题的解答中,你能发现什么结论?

师生合作交流:师生合作交流得到下列结论:

三角形三条内角平分线相交于一点,这点到三角形三边的距离相等.

【拓展提升】

 

154

3 如图154-,已知AOB和线段CD,通过作图求一点P,使得点PAOB的平分线上同时又使得PCPD.

教师点拨:本题的关键是如何使得PCPD,其办法是作出线段CD的垂直平分线MN,直线MNAOB的平分线OQ的交点就是所求作的点P.

学生活动:学生在教师的引导下探究出答案.

 

154

作法:

(1)AOB的平分线OQ

(2)作线段CD的垂直平分线MN,交射线OQ于点P.

则点P即为所求作的点.

4 如图154-,某考古队为进行研究,寻找一座古城遗址.根据资料记载,该城在森林附近,到两条河岸的距离相等,到古塔A的距离是3000 m.根据这些资料,考古队很快找到了这座古城的遗址.你能运用学过的知识在图中合理地标出古城遗址的位置吗?请你试一试.(比例尺为1100 000)

 

154

教师点拨:古城到两条河岸的距离相等说明古城在两条河岸所形成的夹角的平分线上,到古塔的距离是3000 m反映到图形上就是到古塔的距离为3 cm.

学生活动:学生自主探究活动并与同学进行交流.

师生合作交流:师生合作交流得到答案.

 

   3和例4的目的是进一步巩固和强化所学的新知识同时也是对学生知识面和解题方法的拓展和提高.

(续表)

活动

三:

开放

训练

体现

应用

154

  解:如图154-:作法:(1)以点C为圆心以任意长为半径画弧交两河岸于AB两点分别以AB为圆心以大于AB长为半径画弧两弧交于点OCO作射线CO.

(2)按比例尺计算得古塔与点P的图上距离为3 cm以古塔为圆心3 cm长为半径画弧交CO于点P则点P即为所求.

 

活动

四:

课堂

总结

反思

【课堂小结】

  1. 学生谈谈本节课的收获.

2. 本节课的主要内容有:角平分线的性质定理和判定定理.

 

  培养学生对数学知识的归纳能力以及对知识点概括的语言表达能力鼓励学生从数学知识、数学方法和数学情感等方面进行自我评价.

【当堂训练】

1. 教材P144P146中的练习.

2. 教材P146习题15.4.

当堂检测及时反馈学习效果.

【板书设计】

15.4 角的平分线

1. 角平分线的性质定理

2. 角平分线的判定定理

3. 三角形三条内角平分线相交于一点

提纲挈领重点突出.

【教学反思】

[授课流程反思]

本节课由于采用了动手操作、直观模型的观察以及讨论交流等教学方法,从而有效地增强了学生对角以及角的平分线的感性认识,提高了学生对新知识的理解与感悟,因而本节课的教学效果较好,学生对所学的新知识掌握较好,达到了教学的目的.不足之处少数学生在尺规作图上还存在问题,需要在今后的教学与作业中进一步加强巩固和训练.

[讲授效果反思]

本节课借助直观的模型引导学生进行观察、猜想、验证等探究活动,从而引导学生在自主探究的基础上,通过与他人的合作交流探究出角平分线的性质定理和判定定理,这样有效地提高了课堂的教学效果,促进了学生对新知识的理解和掌握.不足之处是少数学生在应用角平分线的性质定理和判定定理解题时,容易忽视点到角两边的距离这一条件,需要在今后的教学上和作业中进行巩固和训练.

[师生互动反思]

                      

                      

[习题反思]

好题题号               

错题题号               

反思更进一步提升.

 

典案二 导学设计

学习目标

1、让学生经历角的折叠过程探索角的对称性,并发现角平分线的性质和判定点在一个角的平分线上的方法;

2、使学生会运用角平分线的性质定理解决生活中的相关问题;

3、培养学生实践探索的科学习惯。

4、在“操作探究归纳说理”的过程中学会有条理地思考和表达,提高演绎推理能力。

学习过程

一、情境创设

动手操作:

1、在一张薄纸上任意画一个角(∠AOB ,折纸,使两边OAOB重合,你发现折痕与∠AOB有什么关系?

结论:                                                         

2、在∠AOB的内部任意取折痕上的一点P,分别画点POAOB的垂线段PCPD,再沿原折痕重新折叠,由此你能发现角平分线上的点有什么性质?

结论:                                                                   

几何符号: ∵                                           

                             

3、反之,如果一个角内一点具备到这个角两边的距离相等,那么这个点的位置有何特征?

结论:                                                                   

几何符号: ∵                                          

                              

二、例题讲解

1、任意画∠O,在∠O的两边上分别截取OAOB,使OA=OB,过点AOA的垂线,过点BOB的垂线,设两条垂线相交于点P,点O在∠APB的平分线上吗?为什么?

2、已知:如图,在ΔABC.O是∠B、∠C外角的平分线的交点,那么点O在∠A的平分线上吗?为什么?

C

 

 

3、三角形的两条内角平分线的交点在第三个内角的平分线上吗?

 

 

 

 

 

三、应用拓展

1、画一画:已知∠AOBCD两点,请在图中标出一点E,使得点EOAOB的距离相等,而且E点到CD的距离也相等。

2、已知:在ΔABC中,DBC上一点,DFABE,DEACF,DE=DF. 线段ADEF有何关系?并说明理由.

 

3、已知:在∠ABC中,D是∠ABC平分线上一点,EF分别在ABAC上,且DE=DF. 试判断∠BED与∠BFD的关系,并说明理由.

 

 

课后作业

一、选择题

1. 下列说法中正确的是(   )

    A.长方形有且只有一条对称轴

    B.垂直于线段的直线就是线段的对称轴

C.角的对称轴是角的平分线

D.角平分线所在直线是角的对称轴

2. 三角形中,到三边距离相等的点是(   

A.三条高线交点                 B.三条中线交点

C.三条角平分线交点               D.三边垂直平分线交点

3.如图,在△ABC中,AD平分∠BACDEABEDFACFMAD上任意一点,则下列结论错误的是(   

A.DE=DF       B.ME=MF       C.AE=AF           D.BD=DC

 

 


 

 

 

 

 

 

二、填空题

4.如图,P是∠AOB的角平分线上的一点,PCOA于点CPDOB于点D,写出图中一对相等的线段(只需写出一对即可)     .

 

 

 


5. 如图,P是∠AOB平分线上任意一点,且PD=2cm,若使PE=2cm,则PEOB的位置关系是__________

6. 如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BACBC=30BD:CD=3:2,则点DAB 的距离是         .

 

 

 

 

 

 

答案

1.D  2.C  3.D  4.PC=PD(答案不唯一)  5.垂直  6.12

 

 

 



 

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