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《完全平方公式与平方差公式》单元教案  

2015-12-29 12:34:15|  分类: 校本研修数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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《完全平方公式与平方差公式》教案

教学目标

经历探索平方差公式的过程,进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力.

会推导平方差公式并掌握公式的结构特征,能运用公式进行简单的计算.

了解平方差公式的几何背景,体会数形结合的思想方法.

教学重点与难点

重点:平方差公式的推导及应用.

难点:用公式的结构特征判断题目能否使用公式.

教学设计

一、引入探究:

计算下列多项式的积,你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗

1x+1)(x-1=

2m+2)(m-2=

32x+1)(2x-1=

再举几个这样的运算例子.我们再来计算a+b)(a-b=

二、授课内容:

公式的推导既是对上述特例的概括,更是从特殊到一般的归纳证明,在此应注意向学生渗透数学的思想方法:特例归纳猜想验证用数学符号表示.

平方差公式及其形式特征.

运用平方差公式计算:

13x+2)(3x-2

2b+2a)(2a-b

3-x+2y)(-x-2y

填表:

a+b)(a-b

a

b

a2b2

最后结果

3x+2)(3x-2

 

2

3x2-22

 

b+2a)(2a-b

 

 

 

 

-x+2y)(-x-2y

 

 

 

 

在给出表格所提示的解法之后,思考别的解法:提取后一个因式里的负号,将2y看作a,将x看作b,然后运用平方差公式计算.

例、计算:

1102×98

2y+2)(y-2-y-1)(y+5

你能根据下面的两个图形解释平方差公式吗

 





《完全平方公式与平方差公式》教案

教学目标:

握完全平方公式和平方差公式以及图形表示.

教学重难点:

会利用完全平方公式和平方差公式进行计算.

教学过程:

完全平方公式

[复习回顾]

1、  多项式与多项式的乘法法则:                     .

2、计算:(1)(ab)(ab  2)(ab)(ab

[探索新知]

(一)完全平方式

1、(ab2等于什么?你能用多项式与多项式相乘法则说明理由吗?(ab2呢?

由此导出两个公式:

ab2             

ab2             

公式①②称为完全平方公式

注:乘法公式实际是几个特殊形式的多项式乘法结果,掌握这些公式,在遇到形式相同的多项式相乘时,就可以直接写出结果,从而省略了乘法运算的过程,达到简化运算的目的.

乘法公式的应用非常广泛,除了要掌握公式的特征,防止用错公式外,还要理解公式中字母的广泛意义.

2、完全平方公式的几何背景.

你能用课本P68图(1)(2)中图形面积割补的方法,分别说明两个完全平方公式吗?与同伴交流.

图(1)中大正方形的面积等于两个小正方形的面积的和再加上两个矩形的面积之和.

图(2)中阴影(深色的正方形)面积等于大正方形的面积减去两个矩形面积,再加上重复减去的小正方形面积.

3、范例讲解

1:利用乘法公式计算.

1)(3a2b2  2)(-4x212

解:(1)(3a2b2=(3a22·3a·2b+(2b2

ab2a22·a· bb2

2)(-4x212=(-4x222·(-4x2·112

a b2a22·a·bb216x48x21

本题也可以把原式变形为[-(4x21)]2=(4x212

解法二:(-4x212=(4x212

=(4x222·4x2·112

16x48x21

点拔:运用完全平方公式的关键在于准确地确定公式中的ab,首先把原式写成符合公式的结构然后再运用公式,例如(-ab2=(ba2(-ab2=(ab2,(abc2=[(ab)-c2或[a+(bc

2:利用乘法公式计算.

1992    2)(502

分析:要利用完全平方公式,需具备完全平方公式的结构,(1992转化为(10012,(2)题转化为(502.

(二)平方差公式

1、做一做

1)(x1)(x1)=      =     

2)(a2)(a2)=          

3)(3x2)(3x2)=        

4)(ab)(ab)=        

观察以上算式及运算结果,你发现了什么?再举两例验证你的发现.

点拔:以上每个算式都是两个数的和与这两个数的差相乘,等于这两个数的平方差,我们把这样特殊形式的多项式相乘,作为乘法公式,今后可以直接使用.

ab)(ab)=      叫做平方差公式.

用语文叙述为:两个数的    与这两个数的   相乘,等于这两个数的         .

注:(1)认识公式的结构特征,要符合公式的结构特征才能运用平方差公式.

2)公式中的ab不仅可以代表数字母、单项式,还可以是多项式.

3)有些式子表面上不能应用公式,但通过适当变形后能应用公式.

2、范例点睛

1:利用平方差公式计算:

1)(2xy)(2xy

2)(-13m2)(-3m21

解:(1)(2xy)(2xy)=(2x2y24x2y2

ab)(a b)=a2b2

2利用乘法公式计算:

11999×2001    249×50

[课堂小结]

本节课你学到了什么?


《完全平方公式与平方差公式》教案

学习目标:

1、经历探索完全平方公式与平方差公式的过程.

2、会推导公式,了解公式的几何背景,会用公式计算.

学习重点:会推导完全平方公式和平差方公式,并能运用公式进行简单的计算.

学习难点:掌握公式的结构特征,理解公式中ab的广泛含义.

学习过程:

(一)完全平方公式

1、创设情景,导入新知

在复习整式乘法的基础上,创设情境:有一个边长为a米的正方形广场,现要扩建该广场,要求将其边长增加b米,试问这个正方形广场的面积有多大?

可用填空形式引导:

1)四块面积分别为:________________________

2)两种形式表示广场的总面积:

整体看:边长为______的大正方形,S=__________

部分看:四块面积的和,S=____________________.

在学生探究出的基础上,提问:你能用多项式乘法法则说明理由吗?

2、引导操作,探究新知

提问:如果将该正方形广场的边长缩减b米,则其边长又为多少?面积呢?

要求:让学生分组动手拼图:用手头的彩色纸,在原有的正方形广场上,拼出现在的广场,探究其面积的不同表示方法及其内在联系,体会完全平方公式的几何背景(小组成员之间要相互合作、相互交流).

在学生探究出的基础上,提问:你能用多项式乘法法则说明理由吗?

3、观察特征、建立模型

在学生自主探究出这两个公式,并明白其几何解释后,鼓励学生自主探究这两个公式的结构特征.

问题:这两个公式有何相同点与不同点?你能用自己的语言叙述这两个公式吗?

顺口溜强化记忆:首平方,尾平方,首尾两倍中间放,中间符号看首尾.

4、范例解析,深化新知

练习一:(口答)

           

         

运用完全平方公式计算,一般步骤:

1、确定首尾,分别平方;

2、确定中间系数与符号,得到结论.

练习二:

       ②        ③

         ⑤        ⑥

(二)平方差公式

一、学习准备

1、利用多项式乘以多项式计算:

1)(a+1)(a-1

2)(x+y)(x-y

3)(3a+2b)(3a-2b

4)(0.2x+0.04y)(0.2x-0.04y

观察以上算式及运算结果,你发现了什么?再举两例验证你的发现.

2、以上算式都是两个数的和与这两个的差相乘,运算结果是这两个数的平方的差.我们把这样特殊形式的多项式相乘,称为平方差公式,以后可以直接使用.

平方差公式用字母表示为:(a+b)(a-b=a2-b2

尝试用自己的语言叙述平方差公式:

3、平方差公式的结构特征:(a+b)(a-b=a2-b2

左边是两个二项式相乘,两个二项式中的项有什么特点?右边的结果与左边的项有什么关系?

注意:公式中字母的含义广泛,可以是                  ,只要题目符合公式的结构特就

可以运用这一公式,可用符号表示为:(□+○)(□-○=□2-○2

4、判断下列算式能否运用平方差公式.

1)(x+y)(-x-y                           2)(-y+x)(x+y

3)(x-y)(-x-y                           4)(x-y)(-x+y

二、合作探究

1、利用乘法公式计算:

12m+3)(2m-3                          2-4x+5y)(4x+5y

分析:要分清题目中哪个式子相当于公式中的a(相同的一项),哪个式子相当于公式中的b(互为相反数的一项)

2、利用乘法公式计算:

1999×1001                          2

分析:要利用完全平方公式,需具备完全平方公式的结构,所以999×1001可以转化为(   ×   ),可以转化为(   ×   

3、利用乘法公式计算:

1x+y+z)(x+y-z                              2a-2b+3c)(a+2b-3c

2

分析:要利用完全平方公式,需具备完全平方公式的结构,(1992转化为(10012,(2)题转化为(502.

(二)平方差公式

1、做一做

1)(x1)(x1)=      =     

2)(a2)(a2)=          

3)(3x2)(3x2)=        

4)(ab)(ab)=        

观察以上算式及运算结果,你发现了什么?再举两例验证你的发现.

点拔:以上每个算式都是两个数的和与这两个数的差相乘,等于这两个数的平方差,我们把这样特殊形式的多项式相乘,作为乘法公式,今后可以直接使用.

ab)(ab)=      叫做平方差公式.

用语文叙述为:两个数的    与这两个数的   相乘,等于这两个数的         .

注:(1)认识公式的结构特征,要符合公式的结构特征才能运用平方差公式.

2)公式中的ab不仅可以代表数字母、单项式,还可以是多项式.

3)有些式子表面上不能应用公式,但通过适当变形后能应用公式.

2、范例点睛

1:利用平方差公式计算:

1)(2xy)(2xy

2)(-13m2)(-3m21

解:(1)(2xy)(2xy)=(2x2y24x2y2

ab)(a b)=a2b2

2利用乘法公式计算:

11999×2001    249×50

[课堂小结]

本节课你学到了什么?




 

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